ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC : 2011 - 2012
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể phát đề )

Bài 1 : (6.0 điểm)
a- Cho biểu thức A=2(92009 + 92008 + 9 + 1) .Chứng minh rằng A bằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
b- Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương
Bài 2 : (4.0 điểm)
a-Chứngminhrằngb- Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =1.
Tìm GTNN của biểu thức A = x4 + y4 + z4
Bài 3 :(3.0 điểm) Giải phương trình

Bài 4 (4đ)
Cho tam giác đều ABC từ 1 điểm M thuộc miền trong tam giác kẻ MH, MK, ML vuông góc với cạnh AB, BC , AC và có độ dài lần lượt là x, y, z. Gọi H là độ dài đường cao tam giác đều
Chứng minh rằng
Bài 5 (3đ)
Cho tam giác ABC (AB < AC) M là 1 điểm trên cạnh BC vẽ BI ( AM, CK ( AM. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK nhỏ nhất.






















ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Bài
Đáp án
Điểm

Bài 1
(6.0 đ)
Câu a





0.5đ


0,5 đ

0.5đ


0.5đ


0.5đ


Câu b


Gọi số chính phương đó là
.
Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt
= x2 = y3 với x, y
N
Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương.
Ta có : 1000


9999
10
y
21 và y chính phương

y = 16

= 4096


0.5đ

0,5đ

0,5đ
1,0đ
0,5đ

Bài 2
(4.0 đ)
Câu a









1,0đ


1,0đ



Câu b

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có





0,5đ

1,0đ

0,5đ

Bài 3
(3.0 đ)

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
(1)
Đặt (đk t >1), phương trình (1) trở thành:
(4x-1)t=2t2+2x-1 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2)
Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn t, khi đó phương trình (2) có:

Phương trình (2) ẩn t có các nghiệm là:
t1=2x-1 và t2(loại)
Với t1=2x-1, ta có:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:


0,5đ




0,5đ




1,0đ




0,75đ



0,25đ

Bài 4
(4.0đ)






1,0đ

0,5đ

1,0đ


1,0đ

0,5đ


Bài 5
(3.0đ)
Vẽ đường cao AH ta có:


0,5đ
0,5đ

0,5đ


1,0đ

0,5đ